数学MATHEMATICS
数学
壹 | 数学学法指导
黎方平
经过九年的义务教育数学学习,大家感受最多的是应用数学知识解决问题,而高中数学学习,一般是指两件事情——理解知识形成体系,应用知识解决问题。
01|理性认识,积极面对
数学是有用的,努力学好数学对人生幸福意义重大。很多人“谈数变色”,跟数学实力没有关联,单纯是因为觉得数学很难。研究表明“数学焦虑”是一种心理学上的症状。对于许多人而言,不是因为学不好数学而感到焦虑,而是因为焦虑导致无法动脑思考数学问题。你的焦虑中包含了和同龄人比较后的失落,其实并不是所有人都能在同一个时间在数学上达到统一的高度,你需要做的是调整好思绪,正确地看待学习数学的过程中遇到的障碍,让你的数学能力得以真正施展,从而不断超越自我。
02|观察生活,学法多样
高中数学的许多研究对象都依然与生活联系密切。生活中,要用数学的眼光观察生活,从中发现数学问题,思考如何用所学知识去解决。同时,高中数学内容的抽象程度有所提高,要以积极主动的态度、刻苦钻研的精神,采取阅读自学、独立思考、实践探究、合作交流等多种学习方式,才能更好地掌握知识。内容越抽象,就越需要静下心来思考。然后才能有所悟,有所得。
03|注重基础,尊重规律
逻辑严密是数学的显著特点。学习新的数学对象,要遵循从概念到性质再到应用的路径展开。理解概念、熟练技能和准确表达是数学学习的“三要素”,概念是数学的精要所在,必须深刻理解、牢固掌握。学习数学没有捷径,唯有按照数学的逻辑,按部就班地学,循序渐进地想,落实基础,才能取得成效。
04|严格训练,思考创新
严格训练,不简单“刷题”。训练目的是加深理解,熟练应用,学会思考,查漏补缺。要在深刻理解概念的基础上,认真研读教科书例题,学会证明、领会思想、掌握方法,这是训练的一个方面。另一方面是完成习题,独立思考最重要,遇到困难不要轻言放弃,也不要着急看答案,错过这个训练思维的机会。还要学会反思、质疑,发现和提出问题,让数学思维得到锻炼,培育自身的创新能力。
数学
贰 | 数学专题指导
张丹·数列
01|以“数列是特殊的函数”为学习指引
数列是定义在自然数集(或其有限子集)上的一类特殊的函数,这是学好数列的出发点。因此可以类比对函数的研究展开对数列研究,包括数列的表示、性质、特殊数列(等差数列、等比数列);同时,也要关注数列的特殊性——离散型函数,从而需要研究数列的递推公式,数列的前n项和等问题。
02|落实基础知识、基本技能与基本思想方法
数列章节的学习对运算能力、逻辑推理,包括在现实情境中建立数列模型的建模能力都提出比较高的要求。需要理解掌握的公式比较多,在学习过程中一定要重视教材,关注公式的推导过程,要“知其然”,更要“知其所以然”。比如学完等比数列的前n项和公式之后,请试着回答这几个问题——
①等比数列的前n项和公式是如何推导的?
②“错位相减”法的优点是什么,还有其他推导方式吗?
③等比数列的前n项和公式哪些形式,其结构分别有何特点?
可以通过教科书的“单元小结”板块从整体角度加深理解知识,熟练基本技能,落实基本运算,并且力求格式清晰、结果准确。
03|在“套路”的基础上发展能力
“求数列通项”与“数列求和”是本章需要研究的两类重要问题,大家通常能够如数家珍地说出基本的套路——累加法、累乘法、倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等等。但是在遇到“套路”以外的问题时,往往就束手无策。这就需要大家在掌握“套路”的基础上发展能力,想清楚“解题套路”的出发点。通常来说,中学数列问题的求解,最终都是通过转化,化归为教科书中学习的“等差数列、等比数列”的问题。而如何转化,需要深刻理解数列的概念及递推表达。
胡嘉苇·概率统计
01|立足情境翻译,重视数学阅读技能力的培养
概率与统计试题大多数有较强的情境性,试题文字篇幅较长、信息含量较大、符号图表密集。在平时的学习中需刻意练习自己的数学阅读技能,训练如何获取关键信息和数据,转化为数学语言,识别数学原理,选取方法,快速准确地进行数学建模、数据分析、统计推断等。
02|立足夯实“四基”,重视核心概念的理解
概率统计版块注重基本概念的理解与运用,切忌题型套路的机械模仿,否则,面对新的问题情境,就会显得茫然不知所措。学习时应以教材为抓手,落实基本概念、基本原理、基本性质、基本模型的系统理解。立足夯实“四基”,关注对基本模式的提炼,学会在情境中识别基本模式,形成解决基本模式的一般思路与方法。在学习要注意与数列、函数、不等式等其它数学内容之间的联系。
03|立足规范表达,重视数学运算技能的训练
概率统计由于涉及数据处理,数学建模,加上运算过程复杂、参考数据冗长、涉及公式较多,对计算能力要求较高。所以需养成规范书写、不跳步骤等良好计算习惯,不要遇到计算麻烦就寻求答案。同时在面对具体情境问题时,知道应算什么(算的对象),该如何算(算的思路),要根据什么算(算的依据)这三个核心问题。利用教材例题的答题步骤与格式,学习如何使用“概率统计”的语言进行规范表达。重视解题格式的训练,做到文字符号要准确,语言表述要规范,逻辑推理要严谨。
殷相刚·立体几何
学习立体几何,需要建立空间观念,提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养。
01|平行与垂直关系的论证
(1)理解几何体结构特征。需明白哪些线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等。
(2)由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
(3)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)。
02|空间角的计算方法
(1)两条异面直线所成的角
①平移法;
②补形法;
③向量方法。
(2)直线和平面所成的角
①作出直线和平面所成的角,关键是作垂线,找射影转化到同一三角形中计算;
②向量方法。
(3)二面角
①平面角的作法:
(i)定义法;
(ii)三垂线定理及其逆定理法;
(iii)垂面法。
②平面角的计算法:
(i)找到平面角,然后在三角形中计算(解三角形);
(ii)射影面积法;
(iii)向量方法。
03|平面图形的翻折、立体图形的展开等问题
平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题,需要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。
邵成林·解析几何
01|学习解析几何的误区
解几曲线舞翩跹,数形互合密相连。在学习解析几何,最容易进入的误区,那就是重题型而轻思维,重积累而轻体系,重结论而轻过程,重训练而轻总结,盲目的把学习置于题海挣扎,把思维弃于结论背诵,把欣赏变成望而生畏的恐惧。
02|学习解析几何的学法
解析几何知识是通过归纳与类比的逻辑演绎,去提高数学思维的最好载体,通过联系类比,提升数学素养,培养自主学习的能力,学会学习。
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廖志高·导数
01|高考导数试题特点
知识点多综合性强:导数题往往涉及多个知识点的综合运用,如函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等。需要能够灵活运用这些知识点,将实际问题转化为数学问题,并找到解决问题的关键。
计算量大易错点多:导数题往往需要进行大量的计算,包括求导、解方程、不等式等。计算过程复杂且易出错,这就要求学生具备扎实的数学基础和计算能力。
可变性强思维度高:导数题不仅要求学生具备扎实的数学基础,还需要具备较高的思维能力和解题技巧。学生需要能够灵活运用所学知识,分析问题的本质,找到解题的突破口。
02|导数专题复习策略
系统梳理,构建网络:将导数知识按照专题分类进行梳理,形成完整的知识网络,有助于加深理解和记忆。
注重基础,强化训练:在掌握基础知识的基础上,进行有效的练习,通过实践来巩固和提高。
总结归纳,提炼方法:在复习过程中,要注意总结归纳解题方法和技巧,形成自己的解题思路。
李正军·极坐标、参数方程
01|极坐标参数方程在线圆相交问题的妙用
在极坐标与参数方程这章中,直线与圆相交的线段问题,既有极坐标方程,又有参数方程,还有普通方程,比较混乱,可以将方程转化为直角坐标系下来解决。当直线过原点时,也可以全部转化为极坐标系来解决。当直线过定点且与定点有关线段长度时,也可以转化到直线参数方程下解决问题,核心思想是转化与化归。
02|例题讲解
03|方法一
04|方法二
05|方法三
数学
叁 | 初中数学学法指导
肖意萍
特殊平行四边形
特殊平行四边形的存在性问题可转化为相应三角形的存在性。
比如,连接菱形任意三个顶点,组成的图形都是等腰三角形,那么为了让四点围成菱形,可以先选三点使之围成等腰三角形,再以底边为对角线,补全菱形即可。所以,菱形的存在性问题可转化为等腰三角形的存在性问题。同理,矩形的存在性问题可转化为直角三角形的存在性,正方形的存在性问题可转化为等腰直角三角形的存在性。
找到知识的生长点,将新知转化为旧知,既能串联起相关知识点,还能化繁为简。
张漫
01|练模型
夯实几何功底,把一些最基本的几何模型烂熟于心,做几何题的时候就不至于没有思路。辅助线不会想,但可以模仿常见的题型去学会。
02|练手感
这里指的是计算能力,也就是计算准确度和速度以及答题的规范性。避免会做题算错而丢分,大题不规范被扣分。
03|练翻译
有些题目难,不会做,并不是因为知识没有掌握到位,而是因为没有仔细读题。翻译完条件后,把能想到的考点写下来,不要嫌麻烦,多写几次就知道这一步是解题的关键点。模仿课上老师对思路的引导和题目的翻译,将题目中的文字语言转化为符号语言。
04|多作图
几何题很难,尝试自己根据条件作图,将文字语言转化为图形语言。作图的过程能够厘清题目的逻辑顺序,在一笔一划的图形呈现中观察变化,往往难题中的分类讨论思想就是通过作图发现的。
胡潇
动点最值问题
动点最值问题是一类中考常考的几何综合性问题。解决这类问题常见思路如下:
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德国著名数学家戴维·希尔伯特曾说:
“数学无穷无尽的诱人之处在于,
它里面最棘手的悖论
也能盛开出美丽的理论之花。”
石室数学教师团队,
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编辑|卿璐瑶、陈雪晴
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